Question

数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，n∈N*．（1）求证：数列{an}是等比数列

数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，n∈N*．（1）求证：数列{an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an（2）设bn=log3an+1，Tn是数列{1bn?bn+1}的前n项和，求T2014的值．

Answer 1

（1）由题意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减，得a_n+1-a_n=2a_n，
即a_n+1=3a_n，
∵a₁=1，∴a₂=2S₁+1=3，则

a2

a1

＝3，
当n≥1时{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴an＝1?3n?1＝3n?1．
（2）由（1）得知an＝3n?1，b_n=log₃a_n+1=n，

1

bn?bn+1

＝

1

(n+1)n

＝

1

n

?

1

n+1

，
T2014＝

1

b1b2

+…+

1

b2014b2015

＝(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

2014

?

1

2015

)＝

2014

2015

．