Question

已知函数f(x)=In(1+x)/x。1、证明若x大于等于1 ,则f(x)小于等于In2;2、如果对...

已知函数f(x)=In(1+x)/x。1、证明若x大于等于1 ,则f(x)小于等于In2;2、如果对于任意X>0, ,f(x)>1+px恒成立,求p的最大值
第二问求过程！

Answer 1

f(x)>1+px,推出ln(x+1)>x+px^2,因为x=0时，左右两侧都为零，只需要左边h(x)=ln(x+1)比右边
g(x)=x+px^2增长快，即二次求导．
二次求导后-1/(1+x)^2>=2p恒成立，因为x>0,　所以-1/(1+x)^2>=-1
所以p<=-1/2

Answer 2

f(x)=in(x+1)/x≤in2 x≥1

求导f'(x)=[x/(x+1)-in(x+1)]/x^2

再对f'(x)的分子求导：f"(x)=1/(x+1)^2-1/(x+1)=-x/(x+1)^2 当x≥1时，f"(x)<0

所以当x=1时，f(x)有最大值，f'(x=1)=1/2-in2<0

所以f'(x)<0 在x≥1时恒成立，所以f(x)在x≥1时单减

所以当x=1时，f(x)有最大值。即f(x)≤f(1)=in2

即：in(x+1)/x≤in2

Answer 3

1、f'(x)=[x－(x＋1)ln(x＋1)]/[x(x＋1)]，设：g(x)=x－(x＋1)ln(x＋1)，则g'(x)=－ln(x＋1)，则g(x)在x≥1时恒有g'(x)<0，即g(x)在x≥1时是递减的，则g(x)的最大值是g(1)=1－2ln2<0，所以，当x≥1时，f'(x)<0，所以f(x)在x≥1时是递减的，其最大值是f(1)=lnx，所以当x≥1时，f(x)≥ln2。

Answer 4

1.当x>1时, x+1<2^x
ln(x+1)<ln2^x
ln(1+x)/x<ln2

2.这个你比较一下
ln(1+x) 和 x(1+px)
画个图就出来了。

Answer 5

0
第二题，pmax=0