Question

以下行列式如何化简为三角行列式？

a-2 -2 2
-2 a-5 4
2 4 a-5
=
答案为(a-10)（a-1）^2

求化简的详细步骤

Answer 1

其实，不一定非化《三角形》不可的。即使化成了三角形，也未必是你期望的样子。像这种三阶的行列式，倒不如直接硬算（按定义展开），完后再因式分解！（当然，这个题刚好可以使用一点技巧）。下面我给出三种方法：1）硬算；2）化三角；3）用技巧。

1）D=(a-2)(a-5)^2-16-16-4(a-5)-4(a-5)-16(a-2)
=a^3-12a^2+21a-10
由余数定理试验出，f(a)中，f(1)=0,所以f(a)一定可以被(a-1)整除，用《多项式除法》找出商：a^3-12a^2+21a-10=(a^3-a^2)-(11a^2-11a)+(10a-10)
=(a-1)(a^2-11a+10) 【商是《二次三项式》可以用《十字相乘法》分解】=（a-1)(a-10)(a-1)
∴ D=(a-10)(a-1)^2

2) r2+r3、r3-r1*2/(a-2)
D=|a-2 -2 2|
0 a-1 a-1
0 4+4/(a-2) a-5-4/(a-2)

c2-c3
D=|a-2 -4 2|
0 0 a-1
0 9-a+4/(a-2) a-5-4/(a-2)

r2、r3交换
D=-|a-2 0 2|
0 9-a+8/(a-2) a-5-4/(a-2)
0 0 a-1 【成《上三角》】
=-(a-1)(a-2)[9-a+8/(a-2)] 【可知，并不是那么“尽如人意”】
=(a-10)(a-1)^2

3) r2+r3、c2-c3
D=|a-2 -4 2|
0 0 a-1
2 9-a a-5
按第二行展开
=-(a-1)*|a-2 -4| =-(a-1)[(a-2)(9-a)+8]
2 9-a
=(a-10)(a-1)^2

追问

谢谢！辛苦啦 我刚刚已经用第三种方法做出来了 现在明白啦

追答

也谢谢你采纳。祝你取得好成绩！