Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线 x-y+2 2 =0

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线 x-y+2 2 =0 的距离为3．（1）求椭圆方程；（2）设直线l过定点 Q(0， 3 2 ) ，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l的方程．

Answer 1

解 （1）设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) ，则b=1． 设右焦点F（c，0）（c＞0），则由条件得 3= |c-0+2 2 | 2 ，得 c= 2 ． 则a 2 =b 2 +c 2 =3， ∴椭圆方程为 x 2 3 + y 2 =1 ． （2）若直线l斜率不存在时，直线l即为y轴，此时M，N为椭圆的上下顶点，|BN|=0，|BM|=2，不满足条件； 故可设直线l： y=kx+ 3 2 (k≠0) ，与椭圆 x 2 3 + y 2 =1 联立，消去y得： (1+3 k 2 ) x 2 +9kx+ 15 4 =0 ． 由 △=(9k ) 2 -4(1+3 k 2 )? 15 4 ＞0 ，得 k 2 ＞ 5 12 ． 设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），MN的中点P（x 0 ，y 0 ）， 由韦达定理得 x 1 + x 2 =- 9k 1+3 k 2 ，而 y 1 + y 2 =k( x 1 + x 2 )+3=- 9 k 2 1+3 k 2 +3 ． 则 x 0 = x 1 + x 2 2 ， y 0 = y 1 + y 2 2 由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN， k BP = y 0 +1 x 0 = y 1 + y 2 2 +1 x 1 + x 2 2 = - 9 k 2 1+3 k 2 +5 - 9k 1+3 k 2 =- 1 k ， 可求得 k 2 = 2 3 ，检验 k 2 = 2 3 ∈( 5 12 ，+∞) ，所以k= ± 6 3 ， 所以直线l的方程为 y= 6 3 x+ 3 2 或 y=- 6 3 x+ 3 2 ．