Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 1 2 ，其中一个顶点是抛物线x 2 = -4

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 1 2 ，其中一个顶点是抛物线x 2 = -4 3 y 的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足 PA ? PB = 5 4 ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明埋由．

Answer 1

（I）设椭圆的标准方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a＞b＞0），则 ∵椭圆C的离心率为 1 2 ，其中一个顶点是抛物线x 2 = -4 3 y 的焦点， ∴ b= 3 ， c a = 1 2 ∵c 2 =a 2 -b 2 ∴a=2，c=1， ∴椭圆的标准方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ； （II）若存在过点P（2，1）的直线l满足条件，则l的斜率存在 设方程为y=k（x-2）+1，代入椭圆方程，可得（3+4k 2 ）x 2 -8k（2k-1）x+16k 2 -16k-8=0 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则由△=32（6k+3）＞0，可得 k＞- 1 2 且x 1 +x 2 = 8k(2k-1) 3+4 k 2 ，x 1 x 2 = 16 k 2 -16k-8 3+4 k 2 ∵ PA ? PB = 5 4 ∴ ( x 1 -2)( x 2 -2)+( y 1 -1)( y 2 -1)= 5 4 ∴[x 1 x 2 -4（x 1 +x 2 ）+4]（1+k 2 ）= 5 4 ∴ [ 16 k 2 -16k-8 3+4 k 2 -4? 8k(2k-1) 3+4 k 2 +4] （1+k 2 ）= 5 4 ∴ 4 k 2 +4 3+4 k 2 = 5 4 ∵ k＞- 1 2 ，∴ k= 1 2 ∴存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足 PA ? PB = 5 4 ，其方程为 y= 1 2 x ．