Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC 于点E．（1

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC 于点E．（1）求证：AC是∠EAB的平分线；（2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OC， ∵DE是⊙O的切线， ∴OC⊥DE． 又∵AE⊥DE， ∴OC ∥ AE． ∴∠EAC=∠OCA． 又∵OC=OA， ∴∠OAC=∠OCA． ∴∠EAC=∠OAC． ∴AC是∠EAB的平分线． （2）∵CD是⊙O的切线， ∴DC 2 =DB?DA，即4 2 =2?DA． 解得DA=8，∴AB=6． 由（1）知，OC ∥ AE， ∴△DCO ∽ △DEA． ∴ OC AE = DO DA ． 即 3 AE = 5 8 ． 解得AE= 24 5 ． ∵DC是⊙O的切线， ∴∠DCB=∠DAC，又∠D=∠D． ∴△DCB ∽ △DAC． ∴ CB AC = DC DA = 4 8 = 1 2 ． ∴AC=2CB． 在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC 2 +BC 2 =AB 2 ，即（2BC） 2 +（BC） 2 =6 2 解得BC= 6 5 5 ．