Question

设a为正实数，函数f（x）=2x 2 +（x-a）|x-a|．（Ⅰ）若f（0）≤-1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）的最

设a为正实数，函数f（x）=2x 2 +（x-a）|x-a|．（Ⅰ）若f（0）≤-1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）的最小值；（Ⅲ）若x∈（a，+∞），求不等式f（x）≥1的解集．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）=2x 2 +（x-a）|x-a|， ∴若f（0）≤-1，则-a|a|≤-1， ∴a 2 ≥1， 解得a≥1， 故a的取值范围是[1，+∞）．…（2分） （Ⅱ）当x≥a时，f（x）=3x 2 -2ax+a 2 ， ∵对称轴 x= a 3 ， ∴ f(x ) min =f(a)=2 a 2 ，…（4分） 当x＜a时，f（x）=x 2 +2ax-a 2 ， ∵对称轴x=-a， ∴ f(x ) min =f(-a)=-2 a 2 ， 综上： f(x ) min =-2 a 2 ．…（6分） （Ⅲ）x∈（a，+∞）时，f（x）≥1， 得3x 2 -2ax+a 2 -1≥0， △=4a 2 -12（a 2 -1）=12-8a 2 ， 当△≤0，即 a≥ 6 2 时， 不等式的解为{x|x＞a}；…（8分） 当△＞0，即 0＜a＜ 6 2 时， 得 (x- a- 3-2 a 2 3 )(x- a+ 3-2 a 2 3 )≥0 x＞a ， 讨论：当a∈（ 2 2 ， 6 2 ）时，解集为（a，+∞）；…（10分） 当 a∈(0， 2 2 ] 时，解集为[ a+ 3-2 a 2 3 ，+∞）．…（11分） 综上：当 a＞ 2 2 时，解集为{x|x＞a}； 当 a∈(0， 2 2 ] 时，解集为[ a+ 3-2 a 2 3 ，+∞）．（12分）