如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD，若E、F分别为

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PA... 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角B-PD-C的正切值． 展开
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#热议# 不吃早饭真的会得胆结石吗？
一撮灰色羊毛6912
推荐于2016-02-10 · TA获得超过195个赞
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方法1：（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点∴F为AC中点
又E是PC中点，在△CPA中，EF∥PA…（3分）
且PA?平面PAD，EF?平面PAD∴EF∥平面PAD…．（5分）
（Ⅱ） 解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD
易知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF
∴∠EMF是二面角B-PD-C的平面角…．（10分）
Rt△FEM中，EF＝
1
2
PA＝
2
a
4
，EM＝
1
2
CD＝
1
2
a，所以tan∠EMF＝
EF
EM
＝
2
a
4
1
2
a
＝
2
2
．
故所求二面角的正切值为
2
2
…．（14分）
方法2：另解：如图，取AD的中点O，连结OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，
∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵PA＝PD＝
2
2
AD，∴PA⊥PD，OP＝OA＝
a
2
．
以O为原点，直线OA，OF，OP为x，y，z轴建立空间直线坐标系，
则有A(
a
2
，0，0)，F(0，
a
2
，0)，D(?
a
2
，0，0)，P(0，0，
a
2
)，B(
a
2
，a，0)，C(?
a
2
，a，0)．
∵E为PC的中点，∴E(?
a
4
，
a
2
，
a
4
)．
（Ⅰ）易知平面PAD的法向量为
OF
＝(0，
a
2
，0)而
EF
＝(
a
4
，0，?
a
4
)，
且
OF
?
EF
＝(0，
a
2
，0)?(
a
4
，0，?
a
4
)＝0，∴EF∥平面PAD．

（Ⅱ）∵
PA
＝(
a
2
，0，?
a
2
)，
CD
＝(0，a，0)∴
PA
?
CD
＝(
a
2
，0，?
a
2
)?(0，a，0)＝0，
∴
PA
⊥
CD
，从而PA⊥CD，又PA⊥PD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PDC，而PA?平面PAD，∴平面PDC⊥平面PAD，
所以平面PDC的法向量为
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