Question

已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex，x∈[-2，a]，a＞-2，其中e是自然对数的底数．（1）若a＜1，求函数y=f（x

已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex，x∈[-2，a]，a＞-2，其中e是自然对数的底数．（1）若a＜1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：f（a）＞13e2；（3）对于定义域为D的函数y=g（x），如果存在区间[m，n]?D，使得x∈[m，n]时，y=g（x）的值域是[m，n]，则称[m，n]是该函数y=g（x）的“保值区间”．设h（x）=f（x）+（x-2）ex，x∈（1，+∞），问函数y=h（x）是否存在“保值区间”？若存在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：（1）解：f（x）=（x²-3x+3）e^x，f'（x）=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，x∈[-2，a]，a＞-2

x	（-∞，0）	（0，1）	（1，+∞）
f′（x）	+	-	+

…（2分）
由表知道：
①-2＜a≤0时，x∈（-2，a）时，f′（x）＞0，
∴函数y=f（x）的单调增区间为（-2，a）；                   …（3分）
②0＜a＜1时，x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，a）时，f′（x）＜0，
∴函数y=f（x）的单调增区间为（-2，0），单调减区间为（0，a）；…（4分）
（2）证明：f（a）=（a²-3a+3）e^a，f′（a）=a（a-1）e^a，a＞-2，

a	（-2，0）	（0，1）	（1，+∞）
f′（a）	+	-	+

从而函数f（x）在区间[-2，+∞）上有唯一的极小值f（1）=e …（6分）
但f（-2）=13e^-2＜e，
故函数f（x）在区间[-2，+∞）上的最小值为f（-2）=13e^-2，…（8分）
因为t＞-2，所以f（t）＞f（-2）=13e^-2         …（8分）
（3）解：h（x）=f（x）+（x-2）e^x=（x²-2x+1）e^x，x∈（1，+∞），h′（x）=（x²-1）e^x，
∴x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴y=h（x）在（1，+∞）上是增函数，…（9分）
函数y=h（x）存在“保值区间”[m．n]等价于

n＞m＞1 h(m)＝m h(n)＝n

等价于关于x的方程h（x）=x在（1，+∞）有两个不相等的实数根，…（11分）
令H（x）=h（x）-x，
则H′（x）=（x²-1）e^x-1，H″（x）=（x²+2x-1）e^x，
∵x∈（1，+∞），∴H″（x）＞0，
∴H′（x）在（1，+∞）上是增函数，
∵H′（1）=-1＜0，H′（2）＞0，且y=H′（x）在[1，2]图象不间断，
∴?x₀∈（1，2）使得H′（x₀）=0，…（13分）
∴函数y=H（x）在（1，x₀）上是减函数，在（x₀，+∞）上是增函数，
∵H′（1）=-1＜，∴x∈（1，x₀]，H（x）＜0，
∴函数y=H（x）在（1，+∞）至多有一个零点，
即关于x的方程h（x）=x在（1，+∞）至多有一个实数根，…（15分）
∴函数y=h（x）是不存在“保值区间”．                  …（16分）