已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(I)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(II

已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(I)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(II)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;(I... 已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(I)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(II)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;(III)若对任意a∈(13,12)及x∈[1,3]时,恒有ma-f(x)<1成立,求实数m的取值范围. 展开
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俟妹
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(I)当a=3时,f(x)=x2-(2a+1)x+alnx=x2-7x+3lnx,
∴f′(x)=2x-7+
3
x

∴f′(1)=-2,
∵f(1)=1-7=-6,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:2x+y+4=0.
(II)f′(x)=2x-(2a+1)+
2
x
=
2x2?(2a+1)x+a
x

令f′(x)=0,得x1=
1
2
,x2=a.
①当a>
1
2
时,由f′(x)>0,得x>a,或x<
1
2

f(x)在(0,
1
2
),(a,+∞)是单调递增.
由f′(x)<0,得
1
2
<x<a,
∴f(x)在(
1
2
,a)上单调递减.
②当a=
1
2
时,f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③当0<a<
1
2
时,由f′(x)>0,得0<x<a,或x>
1
2

∴f(x)在(0,a),(
1
2
,+∞)上单调增加,
由f′(x)<0,得a<x<
1
2

∴f(x)在(a,
1
2
)上单调递减.
(III)由题意可知,对?a∈(
1
3
1
2
),x∈[1,3]时,恒有ma-f(x)<1成立
等价于ma-1<f(x)min
由(II)知,当a∈(
1
3
1
2
)时,f(x)在[1,3]上单调递增
∴f(x)min=f(1)=-2a,
∴原题等价于对?a∈(
1
3
1
2
)时,ma-1<-2a恒成立,
即m>
1?2a
a
=
1
a
-2,在a∈(
1
3
1
2
)时,有0<
1
a
-2<1.
故当m≤0时,ma-1<-2a恒成立,
∴m≤0.
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