Question

已知等差数列{an}中，a1=-19，5a5=11a8．（Ⅰ）求数列{an}的前n项和Sn的最小值；（Ⅱ）求数列{|an|}的前n

已知等差数列{an}中，a1=-19，5a5=11a8．（Ⅰ）求数列{an}的前n项和Sn的最小值；（Ⅱ）求数列{|an|}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=-19，5a₅=11a₈，
∴5（a₁+4d）=11（a₁+7d），5a₁+20d=11a₁+77d，
∴6a₁=-57d，即6×（-19）=-57×d，
∴d=2．
∴a_n=-19+（n-1）×2=2n-21．
当a_n＜0时，2n＜21，n＜

21

2

，即当n≤10时，a_n＜0，当n＞11时，a_n＞0．
∴S_n最小值为S₁₀．
S₁₀=10×（-19）+

10×9

2

×2=-100．
（Ⅱ）∵a₁₀＜0，a₁₁＞0，
∴当n≤10时，T_n=-a₁-a₂…-a_n=-S_n=-n²+20n．
当n≥11时，T_n=-a₁-a₂…-a₁₀+a₁₁+a₁₂+…+a_n=S_n-2S₁₀=n²-20n+200，
∴Tn＝

?n2+20n，n≤10 n2?20n+200，n≥11

．