Question

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+b（a,b属于R）（1）若函数f(x)在X=0,X=4处取得极值且极小值为-1，求f(x)解析式

（2）若X[0,1]，函数图像任意一点的斜率为K，K大于等于-1恒成立使，求a取值范围

Answer 1

（1）f'(x)=-3x²+2ax
因为(x)在X=0,X=4处取得极值
所以f'(4)=-48+8a=0 a=6
极小值f(0)=b=-1
所以f(x)=-x³+6x²-1
（2）k=f '(x)=-3x²+12x
f'(x)在【0，1】上的最小值为f'(0)=0
要使K大于等于-1恒成立，只需k＞f'(0)=0

Answer 2

解：求导
f′(x)=-3x²+2ax
∵X=0,X=4是极值点
∴X=0,X=4是方程 -3x²+2ax＝0的跟
∴0＋4＝2a／3 ﹙根与系数的关系﹚
∴a＝6
∴f(x)=-x³+6x²+b
又极小值为-1，切0是极小值点
∴f﹙0﹚＝－﹙0﹚³＋6×0²＋b＝－1
∴b＝－1