Question

已经函数f（x）=x³-ax-1

已知函数f(x)=x³-ax-1,
(1)若在实数集R上y=f(x)单调递增,求实数a的取值范围
(2)是否存在实数a，使y=f（x）在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

解:
函数f(x)=x³-ax-1
该函数定义域为R.
求导,f'(x)=3x²-a
[[1]]
由题设可知,在R上,恒有f'(x)≥0.
即对于任意实数x,恒有3x²-a≥0.
∴恒有a≤3x²
∴必有a≤0.
∴a∈(-∞, 0]
[[2]]
由题设可知,
对于任意实数x∈(-1,1).恒有: f'(x)≤0.
即对于任意实数x∈(-1,1),恒有 a≥3x².
显然,在(-1,1)上,3x²的上确界为3
∴a≥3

追问

这样解好不？？（1）f′（x）=3x2-a，3x2-a＞0在R上恒成立，∴a＜0．
又a=0时，f（x）=x3-1在R上单调递增，∴a≤0．

追答

求单调性时,包括驻点.
∴f'(x)≥0.
你这样做,麻烦.

追问

如何从题意中知道它包括驻点有什么关键字眼

追答

我忘了.
可以参考华东师大版"数学分析".

Answer 2

（1）f'(x)=3x²- a≥0,x²≥a/3对任意x 都成立，所以对x=0,也成立，所以：0≥a/3,a≤0;
(2)若y=f（x）在（-1，1）上单调递减，则有a>0
令：f'(x)=3x²- a=0 x²=a/3 x=±√(a/3)
可知：f'(x)在（- √(a/3)，√(a/3) ）上单调递减，
则只要：√(a/3)≥1，即a≥3即可。
所以，当a≥3时y=f（x）在（-1，1）上单调递减。

Answer 3

（1）在实数集R上y=f(x)单调递增，则f`(x)≥0在R上恒成立，即2x²-a≥0在R上恒成立，
所以a≤【2x²】的最小值，所以a≤0.
（2）存在。令f`(x)=2x²-a≤0.则a≥2x²，当x∈（-1,1）时，2x²<2,所以a≥2，

Answer 4

f'(x)=3x²-a>=0在实数集R上恒成立，所以a<=0
假设存在，f'(x)=3x²-a<=0，3x²<=a在（-1，1）成立，a>=3即可

Answer 5

当a=3时，无论x在(-1,1)内取何值，f'(x)=3x^2-3都是小于0的，没有小于或等于0的可能，函数一定单调递减。所以实际上是不用检验的。