Question

如图，直线x=1是抛物线y=ax²+bx+c的对称轴，抛物线交x轴于点A、B两点，交于y轴于C点，

如图，直线x=1是抛物线y=ax²+bx+c的对称轴，抛物线交x轴于点A、B两点，交于y轴于C点，且AB=4，点D（2，二分之三）在抛物线上，连接BD，点E从原点O出发，以一个单位长/s的速度沿x轴正方向运动，设运动时间t（s），过点E的直线l：y=kx-2（k≠0），交四边形OBDC的CD边于F点（1）求抛物线的解析式（2）当t为何值时，△CDE的周长最小，并求出此时△CDE的周长（3）若直线y=kx-2（k≠0）分四边形OBDC的面积2：23时，求t的值，并求出此时直线l的解析式

Answer 1

(1)
对称轴x=1, AB =4,则A(-1,0),B(3,0)
y=a(x+1)(x-3)
x=2, y=-3a= 3/2
a= -1/2

(2) C(0,3/2))
CD与x轴平行，C关于x轴的对称点为C'(0,-3/2)
C'D与x轴的交点即为E.
用两点式得C'D的方程为y=(3/2)(x-1)
与x轴交与E(1,0)
CD=2, C'D=C'E+ED=CE+ED=sqrt(13)
周长为2+sqrt(13)
sqrt为平方根

追答

(3)
面积被分为2:23的两部分，本来有两种可能，左大右小或左小右大。但既然F在CD上，只能是后一种情况。
y=kx-2与x轴交与E(2/k, 0), kx-2=3/2, x=7/(2k), F(7/(2k), 3/2)
两部分均为梯形，左部分上下底之和为u=2/k+7/(2k) = 11/(2k)
右部分的上下底之和为v=(3- 2/k)+ (2- 7/(2k)) = 5- 11/(2k)
u:v =2:23, 得k=55/4

此时OE = t = 8/55