Question

含有参数的定积分题目怎么求

如图两道，谢谢，过程可从简
就告诉我第一道吧 答案有阶层

Answer 1

一般这都通过分部积分把它变为递推公式，然后归纳出通项公式
题目1令x=sint带入后，可以变为(cost)^(m+1) dt的积分
它和题目2计算类似
以2为例子(S表示积分）
Jm = -S[x(sinx)^(m-1)dcosx] = xcosx(sinx)^(m-1) - (m-1)S[x(sinx)^(m-2)(cosx)^2dx]
= xcosx(sinx)^(m-1) - (m-1)S[x(sinx)^(m-2)[1-(sinx)^2dx]]
=xcosx(sinx)^(m-1) - (m-1)J(m-2) +(m-1)Jm
这样就由个递推公式了，利用数列知识归纳出公式即可

Answer 2

1
∫(1-x^2)^(m/2)dx
∫√(1-x^2)dx=x√(1-x^2)+∫x^2dx/√(1-x^2)=x√(1-x^2)-∫√(1-x^2)dx+∫dx/√(1-x^2)
2∫√(1-x^2)dx=x√(1-x^2)+arcsinx
∫√(1-x^2)dx=(x/2)√(1-x^2)+(1/2)arcsinx
∫[0,1]√(1-x^2)dx=π/4
∫(1-x^2)dx=x-x^3/3
Im=∫[0,1](1-x^2)^(m/2)dx=(m/2)∫[0,1]x^2*(1-x^2)^(m/2-1)dx
=(-m/2)∫[0,1](1-x^2)^(m/2)dx+(m/2)∫[0,1](1-x^2)^(m/2-1)dx
(m/2+1)Im=(m/2)Im-2 Im=[m/(m+2)]Im-2
m偶数
Im=[m/(m+2)]*[(m-2)/m]*...*(2/4)I2=[2/(m+2)]*(2/3)
m奇数
Im=2/(m+2)I1=[2/(m+2)]*π/4

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