Question

初三数学三角形相似

如图所示，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H。
求①、设EF=x,当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？最大值是多少？
②、当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒一个单位速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与三角形ABC重合面积是S，求S与t的函数关系式

Answer 1

①设AD交EF于M，∵EFPQ是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴EF∶BC=AM∶AD，即X∶10=AM∶8，AM=4/5X，∴PF=8-4/5X
矩形面积S=X(8-4/5X)=-4/5(X²-10X+25-25)=-4/5(X-5)²+20
∵-4/5<0，∴当X-5=0即X=5时，S最大=20
②这时AM=4，∴PF=4，∵∠C=45°，∴CP=PF=4，矩形面积为20，当长方形平移t秒时，长方形露出△ABC外的等腰直角三角形的面积为1/2t²，所以
S=20-1/2t²(0<t≤9)