Question

一道数学难题，急求高手解答！！

已知正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P是从A点出发，沿A→B→C→E运动．若设点P经过的路线为x，当△APE与△AED相似时，求x的值．

Answer 1

已知正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P是从A点出发，沿A→B→C→E运动．若设点P经过的路线为x，当△APE与△AED相似时，求x的值．
解本题的关键是如何理解△APE与△AED相似
题目中仅说△APE与△AED相似，并未说明二个三角形的对应角是哪个与哪个，就是说对应角应该存在P3种可能
⊿AED∽⊿APE；⊿AED∽⊿EPA；
⊿AED∽⊿EAP；⊿AED∽⊿PAE；
⊿AED∽⊿PEA；⊿AED∽⊿AEP；
解析：∵正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，动点P是从A点出发，沿A→B→C→E运动．若设点P经过的路线为x
设△APE与△AED相似的对应角以字母顺序为准
(1)⊿AED∽⊿APE；
过E作EF⊥EA交BC于F
∴当P运动到F点时，⊿AED与⊿APE有可能相似
在⊿AED中，∵∠AED+∠CEF=90°，∠AED+∠DAE=90°==>∠DAE=∠CEF
∴⊿DAE∽⊿CEF==>CF=1/2==>EF=√5/2
AE=√5
∴tan∠EAF= EF/AE=1/2
∵tan∠DAE= DE/AD=1/2==>∠DAE=∠EAF
∴⊿AED∽⊿APE==>x=2+3/2=7/2；
(2)⊿AED∽⊿EPA；
∵∠EDA=90°，显然∠PAE无论P运动到何位置∠PAE<90°
∴⊿AED∽⊿EPA不可能成立；
(3)⊿AED∽⊿EAP；
明显可以看出当P运动到AB中点时，⊿AED∽⊿EAP成立
∴x=1
(4)⊿AED∽⊿PAE；
由（1）可知∠PAE≠∠AED
∴⊿AED∽⊿PAE不可能成立；
(5)⊿AED∽⊿PEA；
∵∠EDA=90°，显然∠PAE无论P运动到何位置∠PAE<90°
∴⊿AED∽⊿PAE不可能成立；
(6)⊿AED∽⊿AEP；
由（4）可知∠AEP≠∠AED
∴⊿AED∽⊿AEP不可能成立；

综上，⊿AED∽⊿APE时，x=7/2；
⊿AED∽⊿EAP时，x=1；

Answer 2

解：若△APE与△AED相似，则∠AEP=90°
1.当P在AB边运动时，∠AEP逐渐增大，到B点位最大值，此值小于90°
2.当P在BC边运动时，∠AEP继续增大，到如图位置：
所以由相似得：AD：AE=AE：AP
解得：AP=2.5
由勾股定律：AB²+BP²=AP²
解得：BP=1.5
所以x=AB+BP=2+1.5=3.5
3.当P在CE边运动时，∠AEP继续增大,∠AEP＞90°，不符题意

综上：x=AB+BP=2+1.5=3.5

追问

具体点、不是应该有3种情况吗？

Answer 3

1

Answer 4

1.3