在抽象代数中怎样证明这个证明题:一个循环群G=<a>的阶为n,a^m也为G的生成元的充分必要条件是:(m,n)=1
1个回答
展开全部
证明：充分性：
由数论(m,n)=1的充分必要条件是存在整数s、t使
ms+nt=1，所以a=a^(ms+nt)=a^ms*(a^n)^t=a^ms
这说明a^m可以生成a,又G=<a>，所以G可以由a^m生成。
必要性：因为G=<a^m>,且a∈G，所以a^m可以生成a，即存在整数s满足a^ms=a,则a^(ms-1)=e,所以ms-1=nt,故ms+n(-t)=1,所以(m,n)=1
证毕！
由数论(m,n)=1的充分必要条件是存在整数s、t使
ms+nt=1，所以a=a^(ms+nt)=a^ms*(a^n)^t=a^ms
这说明a^m可以生成a,又G=<a>，所以G可以由a^m生成。
必要性：因为G=<a^m>,且a∈G，所以a^m可以生成a，即存在整数s满足a^ms=a,则a^(ms-1)=e,所以ms-1=nt,故ms+n(-t)=1,所以(m,n)=1
证毕！
本回答被提问者采纳
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
