Question

如图，菱形abcd中，ab＝2，∠a＝120°，点p、q、k分别为线段bc、cd、bd上任意一点，

如图，菱形abcd中，ab＝2，∠a＝120°，点p、q、k分别为线段bc、cd、bd上任意一点，则PK+QK的最小值是?

Answer 1

】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。6ec8aac122bd4f6e
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P1K1= P K1，P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。
又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=6ec8aac122bd4f6e。
综上所述，PK+QK的最小值为6ec8aac122bd4f6e

Answer 2

追问

PP′与BD是垂直的吗？为什么?

追答

在P′K＝PK时，垂直

Answer 3