Question

一道微积分全微分小题求助。

z=1. (x^2+y^2)[1/√(x^2+y^2)]（x^2+y^2≠0)
2. 0(x^2+y^2=0)
问（1）函数z（x,y)在（0,0）处是否可微？
（2）函数z（x,y）在（0,0）处偏导数是否连续？
我只知道函数在一点处偏导数连续可以推出其在该点处可微，但是除了证明在函数在该点偏导数连续还有什么其他方法证明函数可微啊？

Answer 1

如果不能用偏导数连续来证明可微，则只能用可微的定义来证。
你确定题目没写错吗？(x²+y²)[1/√(x²+y²)]=√(x²+y²)

本需要先求z(x,y)在（0，0）的两个偏导数，这个你应该会吧，结果是0
可微的定义Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)
1、f(Δx，Δy)-f(0,0)-AΔx-BΔy 由于两个偏导数为0，则A=0，B=0
=√(Δx²+Δy²)=ρ
显然不是ρ的高阶无穷小，因此f(x,y)在(0,0)不可微。
2、dz/dx=2x/√(x²+y²)
lim [x-->0，y-->0] 2x/√(x²+y²)
沿y=kx趋于(0,0)
=lim [x-->0] 2x/√(x²+k²x²)
=2/√(1+k²)
结果与k有关，因此2x/√(x²+y²)在(0,0)极限不存在，则2x/√(x²+y²)在（0，0）不连续，所以z(x,y)在（0，0）的一阶偏导数不连续。

追问

不好意思，我写错了，是z=？(x²+y²)sin[1/√(x²+y²)]

追答

1、首先求偏导数：
f 'x(0,0)=lim[Δx-->0] (f(Δx,0)-f(0,0))/Δx=lim[Δx-->0] Δxsin(1/|Δx|)=0
同理：f'y(0,0)=0
下面看函数的全增量：
Δz=f(Δx,Δy)-f(0,0)=(Δx²+Δy²)sin[1/√(Δx²+Δy²)]
然后看全增量与全微分的差是否ρ的高阶无穷小
Δz-f 'x(0,0)Δx-f 'y(0,0)Δy=Δz-0-0=(Δx²+Δy²)sin[1/√(Δx²+Δy²)]=ρ²sin(1/ρ)
lim[ρ-->0] ρ²sin(1/ρ)/ρ=ρsin(1/ρ)=0
因此Δz-f 'x(0,0)Δx-f 'y(0,0)Δy是ρ的高阶无穷小，所以函数在(0,0)可微。

2、f'x(x,y)=2xsin[1/√(x²+y²)]-(x²+y²)cos[1/√(x²+y²)]*x/(x²+y²)^(3/2)
=2xsin[1/√(x²+y²)]-x/√(x²+y²)cos[1/√(x²+y²)] x²+y²≠0
同理：f'y(x,y)=2ysin[1/√(x²+y²)]-y/√(x²+y²)cos[1/√(x²+y²)] x²+y²≠0
下面看偏导数在(0,0)是否连续，也就是看当x-->0，y-->0时，f'x(x,y)与f'y(x,y)的极限是否为0.
只算其中一个就行了

lim[x-->0,y-->0] 2xsin[1/√(x²+y²)]-x/√(x²+y²)cos[1/√(x²+y²)]
这个极限的前一项显然极限存在，主要看后一项
令(x,y)沿y=kx趋于0，上式后半部分的极限为：
lim[x-->0] -x/√(x²+k²x²)cos[1/√(x²+k²x²)]
=lim[x-->0] ±1/√(1²+k²)cos[1/√(x²+k²x²)]
前面的系数±1/√(1²+k²)非0，后面的余弦是振荡的，因此极限不存在。
所以fx'(x,y)在(0,0)极限不存在，因此偏导数不连续。

Answer 2

可导即可微·
用导数的定义·