Question

已知函数f(x)=4^x+4^(-x)是偶函数，证明，对任意实数x1和x2，都有1/2[f(x1)+f(x2)]≥f[(x1+x2)/2]

求过程

Answer 1

证明：1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[4^x1+4^(-x1)+4^x2+4^(-x2)]
=1/2(4^x1+4^x2)+1/2[4^(-x1)+4^(-x2)] 由均值不等式
≥4^[(x1+x2)/2]+4^[-(x1+x2)/2] = f[(x1+x2)/2]

追问

不好意思，中间的“由均值不等式”的步骤能不能详细点列出来，非常感谢……

追答

根据均值不等式：1/2(4^x1+4^x2)≥√（4^x1*4^x2）=√[4^（x1+x2）]=4^[(x1+x2)/2]
同理 1/2[4^(-x1)+4^(-x2)] ≥4^[-(x1+x2)/2]