Question

请先阅读下面的解题过程，在仿做下面题. 已知x^2++x-1=0，求x^3+2x^2+3 =x^3+x^2-x+x^2+x+3。

请先阅读下面的解题过程，在仿做下面题.
已知x^2++x-1=0，求x^3+2x^2+3
=x^3+x^2-x+x^2+x+3
=x(X^2+x-1)+(x^2+x-1)+4
=0+0+4
=4
如果1+x+x^2+x^3=0，求x+x^2+x^3+...+x^2012的值.

Answer 1

这是分组分解法分解因式的一个典型例子：
x^3+x^2+x+1
=(x^3+x^2)+(x+1)
=x^2(x+1)+(x+1)
=(x^2+1)(x+1)
或者
x^3+x^2+x+1
=(x^3+x)+(x^2+1)
=x(x^2+1)+(x^2+1)
=(x+1)(x^2+1)
∴(x+1)(x^2+1)=0
∵x^2+1>0 ∴x+1=0,x=-1
还有这样的解法：
方程两边乘以x-1，得(x-1)(x^3+x^2+x+1)=0,x^4-1=0
(x^2+1)(x^2-1)=0,(x^2+1)(x+1)(x-1)=0
∵x^2+1>0 ∴x+1=0或x-1=0,x=-1或x=1
当x=1时，原方程不成立。所以x=-1

Answer 2

这是分组分解法分解因式的一个典型例子：
x^3+x^2+x+1
=(x^3+x^2)+(x+1)
=x^2(x+1)+(x+1)
=(x^2+1)(x+1)
或者
x^3+x^2+x+1
=(x^3+x)+(x^2+1)
=x(x^2+1)+(x^2+1)
=(x+1)(x^2+1)
∴(x+1)(x^2+1)=0
∵x^2+1>0 ∴x+1=0,x=-1
还有这样的解法：
方程两边乘以x-1，得(x-1)(x^3+x^2+x+1)=0,x^4-1=0
(x^2+1)(x^2-1)=0,(x^2+1)(x+1)(x-1)=0
∵x^2+1>0 ∴x+1=0或x-1=0,x=-1或x=1
当x=1时，原方程不成立。所以x=-1

Answer 3

x+x^2+x^3+...+x^2012
=x(1+x+x^2+x^3)+x^5(1+x+x^2+x^3)+...+x^2011(1+x+x^2+x^3)
=0+0+..+0
=0