Question

如图，在六边形ABCDEF 中，∠C=∠F，∠A=∠D，BC∥EF。 （1）求证：AF∥CD； （2）求∠A+∠B+∠C的度数。

要过程

Answer 1

（1）证明：

延长BC、ED交于M，延长BA、EF交于N。

∵∠BCD=∠AFE，∠BAF=∠CDE，

∴∠NAF=∠MDC，∠NFA=∠MCD（等角的补角相等），

∴∠N=∠M，

∵BC//EF，

∴∠N+∠ABC=180°，

∴∠M+∠ABC=180°，

∴NB//EM，

∴四边形NBME是平行四边形，

∴∠ABC=∠FED，

延长AB、DC交于Q，连接AF、DE交于P，

同理：∵∠ABC=∠FED，∠BCD=∠AFE，

∴∠QBC=∠PEF，∠QCB=∠PFE，

∴∠Q=∠P，

∵NB//ME，

∴∠Q+∠QDP=180°，

∴∠P+∠QDP=180°，

∴AP//QD，

即AF//CD。

（2）解：

∵AP//QD

∴∠FAQ+∠Q=180°，

∵∠ABC=∠Q+∠BCQ，

  ∠BCD+∠BCQ=180°，

∴∠FAB+∠ABC+∠BCD=∠FAB+∠Q+∠BCQ+∠BCD=180°+180°=360°

即∠A+∠B+∠C=360°。

【或】

六边形内角和=180°×（6-2）=720°，

∵∠A=∠D，∠B=∠E（已证），∠C=∠F，

∴∠A+∠B+∠C=360°