Question

已知函数f﹙x﹚＝㏒ax﹙a＞0且a≠1﹚,若数列∶2，f﹙a1﹚,f﹙a2﹚,...f﹙an﹚,2n﹢4﹙n∈N*)成等差

(1)求数列﹛an﹜的通项式an,(2)如a﹦2,令bn﹦an.f(an)﹐求数列﹛bn﹜前n项和Sn﹔(3)在(2)的条件下对任意n∈N*,都有bn＞f¯¹﹙t﹚,求实数t的取值范围

Answer 1

(1)数列∶2，f﹙a1﹚,f﹙a2﹚,...f﹙an﹚,2n﹢4﹙n∈N*)成等差，数列为n+2项，2n﹢4=2+(n+2-1)d，d=2，f(an)-f[a(n-1)]=2，㏒a{(an)/[a(n-1)]}=2，(an)/[a(n-1)]=a²，数列﹛an﹜为首项为a²，公比q=a²的等比数列，an=a^(2n)；
(2)bn﹦an.f(an)，bn=2n*4^n，Sn=2[4+2*4²+3*4³+┄┄┄+n*4^n]，4Sn=2[4²+2*4³+┄┄┄+(n-1)*4^n+n*4^(n+1)]，后式减前式得：3Sn=2[n*4^(n+1)-(4+4²+4³+┄┄┄+4^n)]=2[n*4^(n+1)-4(4^n-1)/3]，Sn=[(6n-2)*4^(n+1)+8]/9；
(3)bn＞f¯¹﹙t﹚，t=an=2^(2n)，2n*4^n＞1/2n，n∈N*上式成立，实数t的取值范围：t≥4。

Answer 2

已知函数f﹙x﹚＝㏒2x，若数列∶2，f﹙a1﹚,f﹙a2﹚,...f﹙an﹚,2n﹢4﹙n∈N*)成等差数列，求数列﹛an﹜的通项式