Question

虚数Z满足Z的模=1，Z^2+2Z+1/Z<0,求Z

Answer 1

虚数z满足|z|=1,z²+2z+1/z<0,求z.
z^2+2z+1/z<0 说明z^2+2z+1/z是 实数 因此z^2+2z+1/z=z^2+2z+1/z的 共轭复数 z'代表z的共轭复数 z^2+2z+1/z=(z')^2+2z'+1/z' [z*z'=|z|^2=1] z^2+2z+z'=(z')^2+2z'+z z^2-(z')2+z-z'=0 (z-z')(z+z'+1)=0 设z=a+bi a,b是实数 当z=z'时 a+bi=a-bi b=0 |a|=1 a=1或-1 所以z=1或-1 需满足z^2+2z+1/z<0 所以z=-1 当z+z'+1=0 2a=-1 a=-1/2 a^2+b^2=1 b=±√3/2 所以z=-1/2±√3/2i 需满足z^2+2z+1/z<0 当z=-1/2+√3/2i z^2+2z+1/z=-2<0 当z=-1/2-√3/2i z^2+2z+1/z=-2<0 检验得z=-1/2±√3/2i

Answer 2

设z=a+bi
Z^2+2Z+1/Z<0
1+2a+2bi+a-bi<0
(1+2a+a)+bi<0
b=0
3a+1<0
a<-1/3
|z|=|a|=1
所以 a=-1

z=-1

追问

Z^2为什么=1?b为什么=0

追答

因为 z²=|z|²=1
因为 Z^2+2Z+1/Z<0
所以 这个肯定是实数的
因为实数和0比较才有意义啊
虚数没法和0比较的

追问

不是|z^2|=z|²=1吗
z^2=a^+2abi-b^如何排除z²=-1的可能。另外，可否解释一下用三角函数的做法

追答

z²=-1
怎么会是负数呢
cos=1
z²=|z|*|z|*cos=|z|²≥0
三角函数不是很麻烦吗 你觉得呢
不嫌麻烦的话你可以做下
z=sinx+icosx
|z|=sin²x+cos²x=1 带入吧

追问

为什么不会是负数呢，Z不是实数，所以平方后不一定大于0.我们上课时只能推|z^2|=z²，

追答

平方都得到的是实数
又是平方 只能是大于等于0的