Question

条件极值的问题

当x>0,y>0,z>0,求函数f(x,y,z)=lnx+2lny+3lnz在球面x^2+y^2+z^2=6R^2上的极大值
并由此证明当a,b,c为正实数时，不等式ab^2c^3<=108[(a+b+c)/6]^6成立。
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Answer 1

建立辅助函数L(x,y,z,k)=lnx+2lny+3lnz+k(x^2+y^2+z^2-6R^2),然后分别求L对x、y、z、k的偏导数，并令这些偏导数为零，解方程组，求出x、y、z，即为极大值点的坐标。f(x,y,z)=lnx+2lny+3lnz=ln(xy^2z^3),所以xy^2z^3=e^f<=e^(f的最大值）。