Question

为什么级数n分之1发散，级数n方分之1却收敛

Answer 1

0<∑1/n²<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n，所以收敛。

至于∑1/n.考虑函数ln(1+x) - x，其导数为1/(1+x) -1。

当x恒大于0时，导数恒小于0，当x=0时，ln(1+x)-x =0，

当x>0时，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n。

1/n > ln(n+1)-ln(n)，所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很显然不收敛。

1/(n*n)收敛的原因：

可以用1/x*x的积分放大估计，也可以用按2的k次方集项估计：

第一项等于1，第二第三项之和小于1/2(小于两个1/2的平方，第4项到第7项之和小于1/4(四个1/4平方之和），第8项到第15项之和小于1/8(八个1/8平方之和.）

总之，小于收敛的公比为1/2的等比级数，所以收敛。

扩展资料

判断级数收敛或者发散的方法：

1、比较判别法

简而言之，小于收敛正项级数的必然收敛，大于发散正向级数的必然发散。当然其中可以存在倍数关系，可以将一个级数放大或缩小再进行比较。若用极限形式，就是二者的比值的极限值是一个有限的正数即可。

2、柯西判别法

从某一项往后，那一项的n分之一次方大于等于1，那么这个级数发散，若那一项的n分之一次方小于1，但是不能无线接近于1，则级数收敛。极限形式就是正项级数的n分之一次方的上极限小于1，收敛，大于1则发散，等于1需要进一步判断。

3、达朗贝尔判别法

从某一项开始，这一项和前一项的比值大于等于1，则级数发散；若这一项和前一项的比值小于1且不会无限接近于1，则级数收敛。极限形式就是这个比值的上极限小于1，级数收敛；这个比值的下极限大于1，级数发散。

参考资料来源：百度百科-发散

参考资料来源：百度百科-收敛

Answer 2

证明如下：

因此该级数发散。

扩展资料：

反证法：

假设调和级数收敛 , 则：

但与

矛盾，故假设不真，即调和级数发散。

中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：

1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。

从更广泛的意义上讲，如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。

Answer 3

如果直接利用p级数的话，1/n∧p p≤1时发散 p＞1时收敛
1/n是调和级数
利用定积分的几何意义来做
阴影部分面积表示它的部分和sn ∫1/xdx求得的是∞ 即没有极限，那么根据定义，发散的
来看1/n∧2
求它的和 利用定积分求得极限sn=1
即收敛于1
如果有书本的话直接看p级数敛散性证明过程就明白了

Answer 4

计算一下取平面上的点使得两个坐标互素的可能性.记为p,那么坐标最大公约数是2的可能性是4p.同理有9p.加起来,用全概率是1,知道1/p=n平方分之一的级数和.因为p不为0所以收敛.
若在直线上去.就化为直线上取1,-1的概率.显然p=0,所以级数发散。
∑1/n^p称为p级数,当且仅当p>1的时候收敛
p级数是判定一些长相古怪的级数是否收敛的基准,就是我们常说的大O判别法,这主要是直观感受,很多数时候不能用作证明。

Answer 5

利用函数的面积进行理解，求两个函数从一到无穷大与x轴围成的面积，发现一个可求，一个不可求，就可得一个发散，一个收敛