Question

设数列｛a（n）｝的前n项和为S（n）·已知S（1）=1,S（n+1）/S（n）=n+2/n·且a（1），a(2)，a（3）成等差

求数列｛a(n)}的通项公式

Answer 1

s1=1
s2=(1+2)/1*s1=3
s3=(2+2)/2*s2=6
a1=1
a2=3-1=2
a3=6-3=3
因为S（n+1）/S（n）=n+2/n 所以 1+a(n+1)/S(n)=1+2/n 所以 a(n+1)=2/n *S(n)
S(n)=n*a(n+1)/2 1式
又S(n-1)=（n-1)*a(n)/2 2式
1式减去2式 得
a（n）=n*a(n+1)/2 -（n-1)*a(n)/2
整理可得（n+1）a（n）=n*a（n+1）
所以有 a（n+1）/ a（n）=(n+1)/n
同理 a（n）/a（n-1)=n/(n-1)
a（n-1）/a（n-2)=（n-1)/(n-2)
……
a3/a2=3/（3-1）
a2/a1=2/1
以上各式（同理以后） 左边乘以左边，右边乘以右边
a（n）/a（n-1)* a（n-1）/a（n-2)*……*a3/a2*a2/a1=n/(n-1)*（n-1)/(n-2)*……*3/2*2/1
可得a（n）/a1=n ，又a1=1
所以证得 a（n）=n

追问

因为S（n+1）/S（n）=n+2/n 所以 1+a(n+1)/S(n)=1+2/n 怎样得来的？？

追答

S（n+1）=S（n）+a(n+1)

追问

以上各式（同理以后） 左边乘以左边，右边乘以右边
a（n）/a（n-1)* a（n-1）/a（n-2)*……*a3/a2*a2/a1=n/(n-1)*（n-1)/(n-2)*……*3/2*2/1
可得a（n）/a1=n ， 这个也不是很明白

追答

第一项的分母和第二项的分子可以约去，第二项的分母和第三项的分子可以约去。因为电脑上显示的不直观，你可以在纸上写出来，所有中间项的分子分母都可以约去，只剩下首项的分子和末项的分母。等式两边一个道理

Answer 2

s1=1
s2=(1+2)/1*s1=3
s3=(2+2)/2*s2=6
a1=1
a2=3-1=2
a3=6-3=3

an=n

追问

能用a（n）=S（n）-S（n-1）化简得来吗？？？·