Question

周期函数 fx是定义在R上的奇函数，且f（x-2）是偶函数，求函数最小正周期

详细过程谢谢

Answer 1

f(x-2)相当于把f(x)向右平移了2个单位，此时关于y轴对称。
所以f(x)的一个对称轴是x=-2
又f(x)是奇函数，关于原点对称
所以x=-2关于原点对称后就是x=2
因此，我们就找到了2条对称轴：x=-2和x=2
相距为4个单位
易知，f(x)的最小正周期是4

追问

= =答案是8

追答

==，不好意思，犯了个错误：
这个最小正周期不是最近的2个对称轴间距。
我们就看几条对称的吧：
f(x)关于x=2对称，所以f(-2)=f(6)【可以画个图试试】
之后又x=-2关于轴x=2对称过去后就是直线x=6，
现在再以x=6为轴，将x=2对称过去，得到直线x=10......
f(x)是奇函数，所以关于原点对称【画法：再画出f(x)在[-2,2]的大致图像，然后一直关于这个轴对称下去。。。。。。】
然后就会发现最小正周期是8

Answer 2

f(x-2)相当于把f(x)向右平移了2个单位，此时关于y轴对称。
所以f(x)的一个对称轴是x=-2
f(x)满足：
f(-2+x)=f(-2-x)
用x-2代替x
f(-4+x)=f(-x)=-f(x)(奇偶性)
再用x+4代替x
f(x)=-f(x+4)
f(x+8)=f[(x+4)+4]=-f(x+4)=f(x)
易知，f(x)的最小正周期是8

追问

最后一步，f[(x+4)+4]=-f(x+4)=f(x)
这个没看懂，解释下好吗

Answer 3

假设f(x)是由正弦函数构筑，又因为f(x-2)是偶函数
所以2=T/4或2=3T/4
所以最小正周期为8或8/3