Question

f（x）=4^x-2^(x+1)能否用导数求最值和单调性谢谢了，大神帮忙啊

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=4x 3 +3ax 2 +4x=x（4x 2 +3ax+4）． 当a=- 10 3 时，f'（x）=x（4x 2 -10x+4）=2x（2x-1）（x-2）． 令f'（x）=0，解得x 1 =0，x2= 1 2 ，x 3 =2． 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： 所以f（x）在(0， 1 2 )，（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），( 1 2 ，2)内是减函数． （Ⅱ）f'（x）=x（4x 2 +3ax+4），显然x=0不是方程4x 2 +3ax+4=0的根． 为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x 2 +3ax+4≥0成立，即有△=9a 2 -64≤0． 解些不等式，得- 8 3 ≤a≤ 8 3 ．这时，f（0）=b是唯一极值． 因此满足条件的a的取值范围是[- 8 3 ， 8 3 ]． （Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a 2 -64＜0，从而4x 2 +3ax+4＞0恒成立． 当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0． 因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者． 为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立， 当且仅当 f(1)≤1 f(-1)≤1 ，即 b≤-2-a b≤-2+a ，在a∈[-2，2]上恒成立． 所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．