Question

平面直角坐标系，将等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠两坐标轴上，A(0,2) C(1,0)

在抛物线上是否存在点P(点B除外），使△ACP任然是以AC直角边的等腰直角三角形？若在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90° ，∠ACO+∠OAC =90°；
∴∠BCD=∠CAO； 又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，
∴ △BDC≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴点B的坐标为(3,1)
抛物线y=ax^2-2a-2 经过点B(3,1)，则得1=9a-3a-2=0 解得a=1/2 ，
所以抛物线的解析式为 y=x^2/2-x/2-2
假设存在点P，使得△ACP是直角三角形:
①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1 使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴。
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD， ∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MCP1≌△BCD
∴ CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（－1，－1）；
经检验点P1（－1，－1）在抛物线为y=x^2/2-x/2-2上；

②若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，。同理可得△AP2N≌△CAO；∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（－2，1），；经检验点P2（－2，1）也在抛物线 y=x^2/2-x/2-2上；
③若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，同理可得△AP3H≌△CAO；∴HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P3（2，3），；经检验点P3（2，3）不抛物线y=x^2/2-x/2-2 上；
故符合条件的点有P1（－1，－1），P2（－2，1）两个。