Question

已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．

（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

这是2011年的四川绵阳数学的中考题。图片可以上菁优网看，我等级低，没法上传

Answer 1

】（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2
（2）∵抛物线的解析式是y=x2-2x+1,∴A（0，1），B（1，0）∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A，C是对称点，∴AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形。
（3）平移后解析式为y=x2-2x-3,可知E(-1,0),F(0,-3)∴EF的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的k值相乘=-1，所以过E点或F点的直线为y=13x+b把E点和F点分别代入可得b=13或-3，∴y=13x+13或y=13x-3列方程得y=13x+13 y=x2-2x-3 解方程x1=-1,x2=103, x1 是E点坐标舍去，把x2=103代入得y=139,∴P1（103，139）同理y=13x-3 y=x2-2x-3 易得x1 = 0舍去，x2= 73代入y=-209,∴P2(73,-209)

Answer 2

．（2011四川绵阳24，12）已知抛物线:y=x2-2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,
如图，设它的顶点为B
(1)求m的值；
(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；
(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C''，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C''上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.
【答案】（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2
（2）∵抛物线的解析式是y=x2-2x+1,∴A（0，1），B（1，0）∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A，C是对称点，∴AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形。
（3）平移后解析式为y=x2-2x-3,可知E(-1,0),F(0,-3)∴EF的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的k值相乘=-1，所以过E点或F点的直线为y=x+b把E点和F点分别代入可得b=或-3，∴y=x+或y=x-3列方程得解方程x1=-1,x2=, x1 是E点坐标舍去，把x2=代入得y=,∴P1（，）同理易得x1 = 0舍去，x2= -代入y=-,∴P2(,-)

Answer 3

解：（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=2．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=2．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．
∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，
则P1MEM=
OEOF=
13，即EM=3P1M．
∵EM=x1+1，P1M=y1，
∴x1+1=3y1①
由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，
则有3（x12-2x1-3）=x1+1，
整理得，3x12-7x1-10=0，解得，
x1=-1（舍）或x1=
103．
把x1=
103代入①中可解得，
y1=139．
∴P1（103，139）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，
得FNP2N=
OEOF=
13，即P2N=3FN．
∵P2N=x2，FN=3+y2，
∴x2=3（3+y2）②
由于P2（x2，y2）在抛物线C′上，
则有x2=3（3+x22-2x2-3），
整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2=
73．
把x2=
73代入②中可解得，
y2=-
209．
∴P2（73，-
209）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（103，139）或（73，-
209）．

Answer 4

解：（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=2．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=2．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，
则P1MEM=
OEOF=
13，即EM=3P1M．
∵EM=x1+1，P1M=y1，
∴x1+1=3y1①
由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，
则有3（x12-2x1-3）=x1+1，
整理得，3x12-7x1-10=0，解得，
x1=-1（舍）或x1=
103．
把x1=
103代入①中可解得，
y1=139．
∴P1（103，139）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，
得FNP2N=
OEOF=
13，即P2N=3FN．
∵P2N=x2，FN=3+y2，
∴x2=3（3+y2）②
由于P2（x2，y2）在抛物线C′上，则有x2=3（3+x22-2x2-3），
整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2=
73．
把x2=
73代入②中可解得，
y2=-
209．
∴P2（73，-
209）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（103，139）或（73，-
209）．

Answer 5

（1）∵ 抛物线y = x2－2x + m－1与x轴只有一个交点，∴ △=（－2）2－4×1×（m－1）= 0，解得 m = 2． （2）由（1）知抛物线的解析式为 y = x2－2x + 1，易得顶点B（1，0），当 x = 0时，y = 1，得A（0，1）． 由 1 = x2－2x + 1 解得 x = 0（舍），或 x = 2，所以C（2，1）． 过C作x轴的垂线，垂足为D，则 CD = 1，BD = xD－xB = 1． ∴ 在Rt△CDB中，∠CBD = 45°，BC =2． 同理，在Rt△AOB中，AO = OB = 1，于是 ∠ABO = 45°，AB =2． ∴ ∠ABC = 180°－∠CBD－∠ABO = 90°，AB = BC，因此△ABC是等腰直角三角形． （3）由题知，抛物线C′ 的解析式为y = x2－2x －3，当 x = 0时，y =－3；当y = 0时，x =－1，或x = 3， ∴ E（－1，0），F（0，－3），即 OE = 1，OF = 3． ① 若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M． ∵ ∠P1EM +∠OEF =∠EFO +∠OEF = 90°， ∴ ∠P1EM =∠EFO，得 Rt△EFO∽Rt△P1EM，于是 311==OFOEEMMP，即EM = 3 P1M． ∵ EM = x1 + 1，P1M = y1，∴ x1 + 1 = 3 y1． （*） 由于P1（x1，y1）在抛物线C′ 上，有 3（x12－2x1－3）= x1 + 1， 整理得 3x12－7x1－10 = 0，解得 x1 =－1（舍），或3101=x． 把3101=x代人（*）中可解得3191=y． ∴ P1（310，313）． ② 若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N． 同①，易知 Rt△EFO∽Rt△FP2N，得 312==OFOENPFN，即P2N = 3 FN． ∵ P2N = x2，FN = 3 + y2，∴ x2 = 3（3 + y2）． （**） 由于P2（x2，y2）在抛物线C′ 上，有 x2 = 3（3 + x22－2x2－3），