Question

已知抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．

（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

这是2011年的四川绵阳数学的中考题。图片可以上菁优网看，我等级低，没法上传

Answer 1

【答案】（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2
（2）∵抛物线的解析式是y=x2-2x+1,∴A（0，1），B（1，0）∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A，C是对称点，∴AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形。
（3）平移后解析式为y=x2-2x-3,可知E(-1,0),F(0,-3)∴EF的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的k值相乘=-1，所以过E点或F点的直线为y=x+b把E点和F点分别代入可得b=或-3，∴y=x+或y=x-3列方程得解方程x1=-1,x2=, x1 是E点坐标舍去，把x2=代入得y=,∴P1（，）同理易得x1 = 0舍去，x2= -代入y=-,∴P2(,-)

Answer 2

因为抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点
所以b²-4ac=0 即（-2）²-4x1x（m-1）=0 所以 m=2