Question

如图，已知AB是圆O的直径，点C在圆O上，直线CD与AB的延长线交与点D，∠COD=2∠DCB

如图，已知AB是圆O的直径，点C在圆O上，直线CD与AB的延长线交与点D，∠COD=2∠DCB
1、求证CD是圆O 的切线
2、点E是弧AB的重点，CE交AB于点F，若AB等于4，求EF×EC的值

Answer 1

解：（1）证明：∵∠COB=∠A+∠OCA（三角形外角定理），
OA=OC，∴∠A=∠OCA，
∴∠COB=2∠OCA（等量代换），
又已知，∠COB=2∠DCB，
∴∠OCA=∠DCB，
又AB是⊙O的直径，
∴∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠DCB+∠BCO=90°（等量代换），
即∠DCO=90°，
∴CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）连接AE、BE，

∵AB是⊙O的直径，点E是AB弧的中点（已知），
∴∠AEB=90°，AE=BE，
∴AE²+BE²=AB²（勾股定理），
∴2BE²=4²，
∴BE2=8，
∵点E是AB弧的中点，
∴AE弧=BE弧，
∴∠EBF=∠ECB（相等弧所对的圆周角相等），
∠FEB=∠BEC，
∴△BEF∽△CEB，
∴EF/BE=BE/EC，
∴EF•EC=BE²=8．