Question

一个广义积分问题，求数学高手解答

F（x）=∫（x，x+2π）e^(sinx)cos²xdx，则F（x）为
A负常数B恒为零C正常数D非常数
求详细解答过程

Answer 1

首先，显然是正数。
其次，观察一下，发现貌似不能积分出来，那就用技巧呗！

原式=∫（x，0）e^(sinx)cos²xdx+∫（0，x+2π）e^(sinx)cos²xdx
求导，F（x）的导数是：-e^(sinx)cos²x+e^【sin（x+2π)】cos²（x+2π）=0。
因而，是个正常数。

Answer 2

F(x)=∫[x,x+2π]e^(sinx)cosx^2dx
=∫[0,x+2π]e^(sinx)cosx^2dx -∫[0,x]e^(sinx)cosx^2dx
设g(x)=∫[0,x]e^(sinx) cosx^2dx
g'(ξ)=[g(x+2π)-g(x)]/(x+2π-x) x<ξ<x+2π
F(x)=g(x+2π)-g(x)=g'(ξ)(x+2π-x)=g'(ξ)*2π x<ξ<x+2π
ξ随着x变化而变化
g'(ξ)非常数，F(x)非常数

Answer 3

F（x）=∫（x，0）e^(sinx)cos²xdx +∫（0，x+2π）e^(sinx)cos²xdx，
F'（x）= - e^(sinx)cos²x + e^(sin(x+2π)cos²(x+2π)
= - e^(sinx)cos²x + e^(sinx)cos²x
=0
选：B

Answer 4

首先由周期性，F（x）=∫（x，x+2π）G(sinx,conx)dx=∫（0，0+2π）G(sinx,conx)dx
故只求在（0,2π）上积分即可
令F（x）=∫（0，2π）e^(sinx)cos²xdx，因为e^(sinx)cos²x>0（几乎处处），排除A,B
故选C