Question

高一立体几何证明题

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
①.B1D⊥平面A1C1B
②.B1D与平面A1C1B的交点是△A1C1B1的重心（重心是三角形三边中线的交点）

Answer 1

1、连接B1D1
因为A1C1⊥ B1D1
又A1C1⊥DD1
所以A1C1⊥平面DD1B1 所以A1C1⊥B1D
同理连接AB1后可证A1B⊥B1D
因为A1C1和A1B都在平面A1C1B上 所以B1D⊥平面A1C1B
2、 因为交点在B1D上，B1D又在平面BDD1B1上
A1C1⊥平面BDD1B1 A1C1D的中点在平面BDD1B1
所以交点在A1C1的中点和B的连线上
同理可得交点在A1B的中点与C1的连线上
所以，交点是三角形A1C1B的重心