Question

已知，如图，P是矩形ABCD的CD边上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AC=15，BC=8，求PE+PF的值

Answer 1

设AC与BC交于O, 连接PO，三角形POD的面积＝1/2*OD*PF
三角形POC的面积＝1/2*OC*PE
因为三角形POD的面积+三角形POC的面积＝1/4矩形的面积＝1/4*AB*BC
所以1/2*OD*PF+1/2*OC*PE＝1/4*AB*BC
因为OC=OD=1/2AC
所以1/2*1/2*AC*(PF+PE)=1/4*AB*BC
PE+PF=(AB*BC)/AC
根据勾股定理，AB=根号（AC^2-BC^2)=根号（161)
所以PE+PF＝8根号（161)/15

Answer 2

由题可知，sin角ACD（对角线下较小的那个角）=15分之8，所以PE=cp*8/15；同样的PF=DP*8/15
而CP+DP=根号下（15的平方-8的平方），综上可得PE+PF=（CP+DP）*8/15，可得PE+PF=根号下（15的平方-8的平方）*8/15
或：连接PA,PB,
由勾股定理得DC=AB=√15²-8²=√161
易得S⊿APD=S⊿BPD=1/2BD*PF
∵S⊿ACP=1/2AC*PE
S⊿ACP+S⊿APD=S⊿ACD
∴1/2AC*PE+1/2BD*PE=1/2CD*AD=1/2*√161*8
即PE+PF=8√161/15