Question

复变函数在某区域内解析 在边界上连续 能否证明在边界加上区域的闭区域解析

Answer 1

在区域内部全纯得不到边界上连续。
另外，全纯是定义在开集上的，无法在闭集上考虑

Answer 2

首先，根据《复变函数》（第五版-余家荣编，高等教育出版社）P21，复变函数f(z)在闭区域解析，是指f在包含该闭区域的一个更大的（开）区域上解析；在一点解析，是指在该点的一个邻域内点点可导；此外，全纯即解析的意思；
其次，复变函数f(z)在区域D解析，在D的边界∂D连续，无法推出f(z)在D∪∂D解析。这是因为可构造反例如下：令F(z)为定义在复平面C上的复变函数，且满足：F(z)=0，当|z|≤1；F(z)=1，当|z|＞1；显然，F(z)在区域|z|＜1解析，在边界∂D={z∈C| |z|=1}上连续，但在边界∂D={z∈C| |z|=1}上不解析，因此F(z)在D∪∂D={z∈C| |z|≤1}上不解析；
（注意，“在边界∂D={z∈C| |z|=1}上连续”是因为：∀z0∈∂D，limF(z)=0=F(z0)，z→z0且z∈∂D，因此F(z)在z0∈∂D上对于∂D乃至D∪∂D连续，但在z0∈∂D上对于复平面C不连续，因此F(z)在边界∂D={z∈C| |z|=1}上不解析）
由上述的例子可以进一步得到：f(z)在区域D解析，在D的闭包D∪∂D连续，无法推出f(z)在D∪∂D解析。