Question

18.如图，PA，PC分别是三角形ABC外角角MAC与角NCA的平分线，它们交于点P，且PD⊥BN

18.如图，PA，PC分别是三角形ABC外角角MAC与角NCA的平分线，它们交于点P，且PD⊥BN，垂足点为F。
求证：BP为角MBN的平分线。

Answer 1

证明：过点P作PE⊥AC于点E．

∵AP平分∠MAC，PD⊥BM，
∴DP=EP（角平分线的性质）．
同理PE=PF，
∴PD=PF，又PD⊥BM，PF⊥BN，
∴P在∠MBN的角平分线上，
∴PB平分∠MBN．

Answer 2

作PK⊥AC，交AC于K， 作PD⊥MB，交MB于D， 作PF⊥NB，交NB于F
∵PA是∠MAC的角平分线
∴PK=PD
∵PC是∠NCA的角平分线
∴PK=PF
∴PD=PF

∴PB是∠MBN的角平分线！