Question

怎么做？数学归纳法

Answer 1

here we go

(1)对于求值域问题，而且还出现平方，那么我们为了方便求得值，于是变化为平方式
a(n+1)=-(1/2)【an-1】^2+3/2
由a1(1,2)代入得a2(1,3/2)，由a2代入最终得到a3(11/8,3/2)得证

(2)这种形式看上去非常复杂，但是也内含提示
我们证明如下：设|a(n)-根号2|<1/2^(n)对于n》3成立，那么只要在这个前提下，利用所有数学关系，你能够证明|a(n+1)-根号2|<1/2^(n+1)也成立，即得证
数学归纳法最重要的是要找出an与an+1之间的关系

联系敬团之前的两个已知：

|a(n)-根号2|<1/2^(n)
a(n+1)=1+an-(1/2)an^2
那么这个时候我们就可以把已知式子的a(n+1)换成a(n)，目的是消元，得到
|1+an-(1/2)an^2-根号2|<1/2^(n+1)
那么现在这个亮昌橘问题的难点就在于，接下来怎么办？
为了使用我们的已知|a(n)-根号2|<1/2^(n)条件，我们可以设法将1+an-(1/2)an^2-根号2拆成两个相乘的因子，如果正好有|a(n)-根号2|正好就能消去
注意观察：|1+an-(1/2)an^2-根号2|=1/2·|an-根号2|·|an-(2-根号2)|[！！难点！！]
当然这个要用x1x2=2(根号2-1)，x1+x2=2才比较容易找出来[！！难点！！]
现在|an-根号2|<1/2^(n)是已知，那么代入：
|a(n+1)-根号2|=1/2·|an-根号2|·|an-(2-根号2)|<1/2^(n+1)·|an-(2-根号2)|
题目要证明|a(n+1)-根号2|<1/2^(n+1)

相信到这里你也看出来了，目的要证明|an-(2-根号2)|<1，只迅缺要证明这点就OK
打开合并，就是要证明an<3-根号2(n》3时)恒成立，在这里，很容易发现，又必须用数学归纳法证明一次
设若有11/8<an<3/2，则an+1必然也11/8<an+1<3/2【a》3】
这点利用a3套入原有公式很快就能证明
an<1.5则an<3-根号2得证，OK

数学归纳法的精髓就是把an与an+1的关系利用已知寻找出来，只要能找出来，答案就在眼前

Answer 2

第一问是a几

追问

a3

追答

追问

谢谢了😄