Question

如图，已知AB为圆O的直径，点C在圆O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC，角COB=2角PCB

(1)求证：PC是圆O的切线；（2）求证：BC=1/2AB;(3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值。

Answer 1

∵AC=PC
∴∠A=∠P
∵∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠A，
∴∠PCB=∠A=∠P
∴∠ACO=∠PCB
因为∠ACB=90°所以∠PCO=90°即PC是圆O的切线
（2）因为∠A=∠P，∠ACO=∠PCB，BAC=PC
所以△ACO全等于△PCB
所以BC=CO 因为CO=1/2AB，所以BC=1/2AB
（3）因为BC=1/2AB
所以，∠COB=60°，由于M是弧AB的中点，所以∠MOB=90°
∠M=15°
MN=MO/cos15°
根据余弦定理cm=co+mo-2co*mocos∠moc=2+2-2*2*2cos150°

Answer 2

（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是圆O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°即OC⊥CP
∵OC是圆O的半径∴PC是圆O的切线
（2）证明：
∵∠A=∠P，∠ACO=∠PCB，AC=PC
∴△AOC≌△PCB（A,S,A）∴OC=BC
又∵CO=1/2AB
∴BC=1/2AB

Answer 3

连接MO=半径=2,则MO垂直于AB。BC=1/2AB=半径=2，三角形OBC
为正三角形，角COB=60度，OC=半径=2，三角形OCM为等腰三角形，角M=15度，MN=OM/cos（15），MC=2*OM*cos(15),
MN×MC=8

Answer 4

∵AC=PC ∴∠A=∠P ∵∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠A， ∴∠PCB=∠A=∠P ∴∠ACO=∠PCB ∵∠ACB=90°∴∠PCO=90°即PC是圆O的切线
（2）∵∠A=∠P，∠ACO=∠PCB，BAC=PC ∴△ACO≌△PCB∴BC=CO ∵O=1/2AB，∴BC=1/2AB
（3）∵BC=1/2AB∴∠COB=60°，又∵M是AB的中点，∴∠MOB=90° ∠M=15° MN=MO/cos15° 根据余弦定理cm=co+mo-2co*mocos∠moc=2+2-2*2*2cos150°

Answer 5

Answer 6

（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．（3分）
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=12AB．（6分）
解：连接MA，MB，
∵点M是AB^的中点，
∴AM^=BM^，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴BMMC=MNBM．
∴BM2=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，AM^=BM^，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=4，
∴BM=22．
∴MN•MC=BM2=8．（10分）