Question

已知复数Z=√3+i／（1-√3i）² ，则｜z｜² =?

要过程（详解）

Answer 1

|z| = |根号3+i|/|1-根号3i|^2 = 根号（3+1）/ (1+3) =2/4=1/2
所以|z|^2 = 1/4

追问

=(√3+i)/(1-2√3i-3)
=(√3+i)/[-2(1+√3i)
=(-1/2)(√3+i)(1-√3i)/4
=(-1/4)(√3-i)这是怎么算出来的
=-√3/4+i/4

追答

这个过程估计是为了巩固学生的基础知识才用的笨方法，
思想就是 把一切常复数的运算结果转化为 a+ib的形式再计算 a^2+b^2来算其模的平方

而我是直接利用 |z1/z2|=|z1|/|z2| 免去了转化的过程。计算结果也是一样的。

你给出的过程中你问是怎么算出来的，我可以一步一步给你说，
=(√3+i)/(1-2√3i-3) ，是分母那个平方展开了 -3就是 i根号3 的平方
第二步=(√3+i)/[-2(1+√3i) 是整理分母 并提取公因式-2
第三步=(-1/2)(√3+i)(1-√3i)/4 这步用了个很小的技巧，就是分子分母同时乘以分母的共轭复数，因为一个复数a+ib如果跟它的共轭a-ib相乘结果是一个实数a^2+b^2
你看 这里分子原本是 (√3+i) 分母原本是 (1+√3i) 它把分子分母同时乘以了(1-√3i)
于是就变成 (-1/2) ((1-√3i)(√3+i)) /((1-√3i)(1+√3i)) 分母用平方差公式乘一下就变成1+3=4
所以就变成了 (-1/2) (√3+i)(1-√3i)/4
接下来就是 (√3+i)(1-√3i) 你直接就展开乘进去 跟初中学的没什么差别，就是多了个i^2最后要变成-1， 也就是 √3+i - (√3+i)√3i = √3+i - 3i + √3 = 2√3 - 2i 提取个2 跟外面的-1/2消掉
就变成-(√3-i)/4了
它的模长平方 是等于 3/16+1/16=4/16=1/4 跟我的计算结果是一样的