Question

椭圆有两焦点坐标分别为F1负根号3,0), F2(根号3,0),且椭圆过点(1、负根号3/2),求求椭圆方程

椭圆有两焦点坐标分别为F1负根号3，0), F2(根号3，0)，且椭圆过点(1、负根号3/2)，求椭圆方程‘过点（-6/5，0），作不与Y轴垂直的直线L交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否是一个定值，并说明理由

Answer 1

c=√3，设椭圆方程为x^2/(b^2+3)+y^2/b^2=1,
它过点（1，-√3/2），
∴1/（b^2+3)+(3/4)/b^2=1,
4b^2+3(b^2+3)=4b^2(b^2+3),
4b^4+5b^2-9=0,
(b^2-1)(4b^2+9)=0,
解得b^2=1,椭圆方程为x^2/4+y^2=1.左顶点A(-2,0).
设L:x=my-6/5,①
代入椭圆方程得（m^2+4)y^2-(12/5)my-64/25=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
y1+y2=(12/5)m/(m^2+4),y1y2=(-64/25)/(m^2+4).
由①，(x1+2)(x2+2)=(my1+4/5)(my2+4/5)=m^2y1y2+(4/5)m(y1+y2)+16/25,
(x1+2)(x2+2)+y1y2=(m^2+1)y1y2+(4/5)m(y1+y2)+16/25
=[(-64/25)(m^2+1)+(48/25)m^2+(16/25)(m^2+4)]/(m^2+4)
=0
∴1+k1k2=[(x1+2)(x2+2)+y1y2]/(x1+2)(x2+2)=0,
∴AM⊥AN,∠MAN=90°。