Question

帮帮忙啊 很急

已知曲线C：x平方十y平方十2kx十（4k十1O）y十1OK十2O十O，其中常数K不等于负1，求证：曲线C都是圆，并且圆心在同一条直线上，证明：曲线C过定点；若曲线c与x轴相切，求K值

Answer 1

x²十y²十2kx十（4k十1O）y十1OK十2O=O
(x+k)²+[y+(2k+5)]²=(2k+5)²+k²-10k-20
(x+k)²卖散+[y+(2k+5)]²=5k²+10k+5
(x+k)²+[y+(2k+5)]²=5(k+1)²
∵k≠-1∴5(k+1)²>0
∴曲线C是圆
圆心C（-k,-(2k+5)) 半径首神：√5|k+1|

设圆心C（x,y) 则 x=-k,y=-(2k+5)
消去k得：y=2x-5
圆心C在直线y=2x-5上

又
x²十y²十2kx十（4k十1O）y十1OK十2O=O
==>
x²十y²十10y+20+ 2k(x十2y+5)=0
x十2y+5=0与 x²十y²十10y+20=0联立
得：（2y+5)²十y²十10y+20=0
==> y²+6y+9=0 ==> y=-3,x=1
∴者配亏曲线C过定点(1,-3)

若曲线c与x轴相切,则
圆心C（-k,-(2k+5)) 到x轴距离等于半径
∴ |2k+5|=√5|k+1|
==>k²-10k-20=0
==> k= 5±3√5