Question

你好，如果是函数f(x)=z/z^4+1在复平面上的所有有限奇点处的留数怎么求呢？

图解最后一步怎么得到？

Answer 1

在z=a处的留数定义
就是洛伦特展开式的
1/(z-a)的系数
此处a=0
1/z的系数是1/4!=1/24

追问

如果是函数f(x)=1/(z^4+1)在复平面上的所有有限奇点处的留数怎么求呢？

追答

先找奇点
z^4+1=0
z^4=-1=e^(iπ)
z1=e^(iπ/4),z2=e^((iπ+2π)/4),z3=e^((iπ+4π)/4),z4=e^((iπ+6π)/4)
然后，显然都是一重奇点, z1≠z2≠z3≠z4
1/(z^4+1)=1/(z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4)
在z1的留数即为1/(z1-z2)(z1-z3)(z1-z4), 因为这是1/(z-z1)在z=z1处的系数
其它以此类推~