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已知数列{an}满足a1=2/5,且对任意n∈N 都有an/an+1=4an+2/(an+1)+2 求证(1){1/an}为等差数列;(2).....
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解:由an/a(n+1)=4an +2/ [a(n+1) +2] 得 an 不为零。
所以:an/(4an+2)=a(n+1)/[a(n+1) +2]
1/(4+2/an)=1/[1+2/a(n+1)]
4+2/an=1+2/a(n+1)
1/a(n+1)-1/an=3/2
1/a1=5/2
1/an=3n/2+1/2
所以数列{1/an}为等差数列
2
an=2/(3n+1)
ak*a(k+1)=4/[(3k+1)(3k+4)]
=2/[3(3k^2+5k)/2+2]
=2/[3k*(3k+5)/2+2]
因为k*(3k+5)/2 肯定为整数(k为奇数时3k+5 是2的倍数)
所以ak*a(k+1)也是{an}中的一项。是第k*(3k+5)/2 项。
所以:an/(4an+2)=a(n+1)/[a(n+1) +2]
1/(4+2/an)=1/[1+2/a(n+1)]
4+2/an=1+2/a(n+1)
1/a(n+1)-1/an=3/2
1/a1=5/2
1/an=3n/2+1/2
所以数列{1/an}为等差数列
2
an=2/(3n+1)
ak*a(k+1)=4/[(3k+1)(3k+4)]
=2/[3(3k^2+5k)/2+2]
=2/[3k*(3k+5)/2+2]
因为k*(3k+5)/2 肯定为整数(k为奇数时3k+5 是2的倍数)
所以ak*a(k+1)也是{an}中的一项。是第k*(3k+5)/2 项。
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