Question

高中数学题目

已知函数f(x)=alnx+x^2（a为实常数）
1 若a<-2，求证函数f(x)在(1,+无穷）上是增函数
2 若a>=-2时，求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值
3 若存在x属于[1,e]，使得f(x)<=(a+2)x成立，求实数a的取值范围

Answer 1

这个题目的第一第二小题的条件应该互换才对。

第一小题用导数来计算，求函数f(x)的一阶导数f'(x)=a/x+2x, 要使函数f(x)在(1,+无穷）上是增函数，必须f'(x)在(1,+无穷）上大于零，a/x+2x>0等价于a+2x^2>0,于是a>-2x^2,可等a>=-2,第一小题证毕。

第二小题也是用导数的知识，首先求f'(x)=0求出驻点，x=根号-a/2，由a<-2可知，根号-a/2>1,当1<根号-a/2<=e,即-2e^2<=a<-2时，函数f(x)在x=根号-a/2取到最小值，因为（1，根号-a/2）之间函数单调递减，在（根号-a/2，e）单调递增，最小值为a/2ln(-a/2)-a/2；当a<-2e^2时，函数在x=e处取的最小值。最小值为a+e^2.

第三小题先构造函数，还是用导数知识求解。令g(x)=f(x)-(a+2)x,题目转化x属于[1,e]时使得g(x)<=0的a的取值范围，对g'(x)=a/x+2x-(a+2)=0这个方程等价于2x^2-(a+2)x+a=0可求得x=1或x=a/2，再对a的取值进行讨论：当a<=2时，g'(x)=a/x+2x-(a+2)>=0（x属于[1,e]）可知单调递增，要使g(x)<=0，只要g(e)<=0,解得a<=e(2-e)/(1-e)<1,所以a<=e(2-e)/(1-e)；当2<a<2e时，g(1)<=0且g(e)<=0解得a没有可行区域；当a>=2e时，只要f(1)<=0便可，解得a>=2e。综上，a的取值范围为a<=e(2-e)/(1-e)或a>=2e。

Answer 2

(1)设圆方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,与直线x=y相切于原点,则可知道,圆经过点(0,0),由于圆心在第二象限,则圆心坐标为(-2,2),所以圆方程为(x+2)^2+(y-2)^2=8
(2)设有一点Q(a,b)
(a+2)^2+(b+2)^2=8
(a-4)^2+(b-0)^2=4^2
求得a=4/5,y= -12/5
所以存在,坐标为(4/5,-12/5)

Answer 3

sdamyghagg

Answer 4

dfh