Question

在三角形ABC中,已知角A,B,C所对的三条边分别是a,b,c,且b^2=ac 证明0<B≤60度

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

b^2=a^2+c^2-2accosB,b^2=ac
所以cosB=(a^2+c^2-ac)/2ac
因为a^2+c^2>=2ac,
所以cosB>=(2ac-ac)/2ac=1/2
所以B<=60
因为三角形ABC中|a-c|<b,所以a^2-2ac+c^2<b^2=ac，
所以a^2+c^2-ac<2ac
所以cosB<1
所以B>0
所以0<B≤60。

追问

为什么：a^2+c^2>=2ac,

Answer 3

由余弦定理cosB=（a^2+c^2-b^2）/2ac,
又b^2=2ac，a^2+c^2>=2ac
所以cosB>=1/2
又B是三角形一内角，
0<B≤60度。

对于为什么：a^2+c^2>=2ac,
因为完全平方式（a-c）^2>=0,
所以
a^2+c^2-2ac>=0
所以a^2+c^2>=2ac。