Question

有道微积分的问题，麻烦大家解答一下啦

设f(x)在［a,b］上二阶可导，f(x)的导数〉0，f(x)的二阶导数〉0，证明：（b-a)f(x)〈∫f(x)dx〈(b-a)*［f(a)+f(b)/2］

Answer 1

要证明的不等式左边是(b－a)f(x)还是(b－a)f(a)？前者好像不对吧？
f'(x)>0，f(x)严格递增，因此(b－a)f(a)=积分（从a到b）f(a)dx<积分（从a到b）f(x)dx。
再证明右边不等式。
令F(x)=积分（从a到x）f(t)dt－(x－a)[f(x)+f(a)]/2，F(a)=0，
F'(x)=f(x)－(f(x)+f(a))/2－(x－a)f'(x)/2
=0.5【f(x)－f(a)－(x－a)f'(x)】微分中值定理得
=0.5【f'(c)－f'(x)】(x－a)，其中a<c<x，
由于f'(x)是递增的，f'(x)>f'(c)，故F'(x)<0，F(x)是递减的
故F(b)<0，即要证不等式成立。