Question

如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为1厘米的等，边三角形，且B、D、C、E都在同一条直线上，连接AD、CF.

（1）求证：四边形ADFC是平行四边形
（2）若BD=0.3厘米，△ABC沿着BE方向以每秒1厘米的速度运动，设△ABC运动时间为t秒。
①当t为何值时，四边形ADFC是菱形？请说明你的理由；
②四边形ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由。

Answer 1

如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为10cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF．若BD=3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒，
（1）当t为何值时，四边形ADFC是菱形？请说明你的理由．
（2）四边形ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．考点：矩形的性质；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的性质．
分析：（1）△ABC和△FDE都是边长为10cm的等边三角形，得AC=DF，∠ACD=∠FDE=60°，由AC∥DF，所以四边形ADFC是平行四边形，当t=3秒时而得；
（2）当t=13秒时，平行四边形是矩形，此时B与F重合，而证得平行四边形ADFC是矩形，而求得面积．
解答：解：（1）∵△ABC和△FDE都是边长为10cm的等边三角形，
∴AC=DF，∠ACD=∠FDE=60°，
∴AC∥DF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
当t=3秒时，平行四边形ADFC是菱形，此时B与D重合，
∴AD=DF，
∴平行四边形ADFC是菱形； （2）当t=13秒时，平行四边形是矩形，此时B与E重合，
∴AF=CD，
∴平行四边形ADFC是矩形，
∴∠CDF=90°，
CF= CD2-DF2 =10 3 ，
S矩形ADCF=10×10 3 =100 3 (cm2)．
点评：本题考查了矩形的性质及其应用，考查了菱形的判定，以及菱形与矩形的区别论证及其计算．

Answer 2

(1),∠ACB=∠CDF=60°，∴AC平行且等于DF，∴四边形ADFC是平行四边形
（2），1，当四边形ADFC是菱形时，AC=AD=AB，
即B，D重合 ∴t=0.3
2，要使四边形ADFC为矩形，则∠ADF=90°=∠DAC 又∵∠BAC=60°
∴∠ADC=30°(点B在D右侧)∠DAB=30°
∴BD=AB=1cm
所以t=0.3+1=1.3cm
面积为DF*AD=根号3

Answer 3

(1) 由题可知，△ABC和△DEF全等。
所以AB=EF=1，BD=CE，角ABD=角FEC
所以，△ABD和△FEC全等。
所以，AD=FC，角ADB=角FCE，所以角ADC=角FCD，故AD平行FC，且AD=FC。
根据有一组对边平行且相等的四边形即为平行四边形可知：四边形ADFC是平行四边形。
（2）1、若四边形ADFC是菱形，则点B与D重合，点C与E重合，这时△ABC向右移动了0.3cm，t=0.3s。
2、四边形ADFC有可能是矩形。当△ABC沿着BE方向移动t=1.3s的时候，即点B与点E重合。它的面积为1*根号3=3开平方根。（抱歉“根号”打不出来）

Answer 4

(1) 由题可知，△ABC和△DEF是相同的三角形。
AB=EF=1，BD=CE，角ABD=角FEC
所以，△ABD和△FEC全等。
所以，AD=FC，角ADC=角FCD，所以AD平行FC，AD=FC。
又：AC=DF，角ACD=角FDC，DC=DC。则：△ACD和△FDC全等。所以，角ACD=角FDC。所以，AC平行DF。
所以，四边形ADFC是平行四边形
（2）若，四边形ADFC是菱形，则AD=1。而角ACD为60度。所以三角形ACD为等边三角形。所以，DC=1，与题矛盾。所以，不存在。

Answer 5

1) 由题可知，△ABC和△DEF是相同的三角形。
AB=EF=1，BD=CE，角ABD=角FEC
所以，△ABD和△FEC全等。
所以，AD=FC，角ADC=角FCD，所以AD平行FC，AD=FC。
又：AC=DF，角ACD=角FDC，DC=DC。则：△ACD和△FDC全等。所以，角ACD=角FDC。所以，AC平行DF。
所以，四边形ADFC是平行四边形